1.3.1量词 教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词.

教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；

教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；

课 型：新授课

教学手段：多媒体 教学过程 一、创设情境

生活和学习中，我们经常遇到这样的命题：

（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护;

（2）对任意的实数x，都有x2≥0；

（3）存在实数x，满足x2≥0；

（4）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；

（5）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；

上述命题有何不同？

命题（1）表示只要是"中国公民"，其合法权利就受到中华人民共和国宪法的保护，即不存在合法权利不受中华人民共和国宪法保护的中国公民.

命题（2）表示对每一个实数x，必定有"x2≥0"，即没有使"x2≥0"不成立的实数x存在.

命题（3）表示至少可以找到一个有理数x，使"x2-2=0"成立 .

二、活动尝试

　　所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语.我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境.

问题1：下列命题中含有哪些量词？

（1）对所有的实数x，都有x2≥0；

（2）存在实数x，满足x2≥0；

（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；

（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；

（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n；

（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n，有s = n × n；

上述命题中含有："所有的"、"存在"、"至少"、"任何"等表示全体和部分的量词.

三、师生探究

　　命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词.命题的量词，表示的是主词数量的概念.在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词.

全称量词：如"所有"、"任何"、"一切"等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号"∀x"表示"对任意x"．

全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题的一般形式可表示为∀x∈M，p(x).

存在量词：如"有"、"有的"、"有些"等等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．通常用符号"∃x"表示"存在x"．

存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题.

存在性命题的一般形式表示为∃x∈M，p(x).

含有量词的命题通常包括存在性命题和全称命题两种.

问题2：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？

（1）方程2x=5只有一解；

（2）凡是质数都是奇数；

（3）方程2x2＋1=0有实数根；

（4）没有一个无理数不是实数；

（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；

（6）集合A∩B是集合A的子集；

【答案】（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；

四、数学理论

含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题.

全称命题的格式："对M中的所有x，p(x)"的命题，记为:

存在性命题的格式："存在集合M中的元素x，q(x)"的命题，记为:

注：全称量词就是"任意"，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母.存在量词就是"存在"、"有"，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母.存在量词的"否"就是全称量词.

五、巩固运用

例1判断以下命题的真假：

（1） （2）

（3） （4）

解：（1）因为x=2时，x2>x成立，所以，"∃x∈R，x2＋2>0"是真命题.

（2）因为x=0时，x2>x不成立，所以，""是假命题.

（3）因为使x2-8=0成立的数只有x=2与x=-2,但它们都不是有理数，所以""是假命题.

（4）因为对任意实数x，都有x2+2>0成立，所以，

""是真命题.

例2判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来.

（1）中国的所有江河都注入太平洋；

（2）0不能作除数；

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

（4）每一个向量都有方向；

解：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；

（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；

（3）全称命题， x∈R，；

（4）全称命题，，有方向；

六、回顾反思

七、课后练习

1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）

A．所有奇数都是质数 B．

C．对每个无理数x，则x2也是无理数 D．每个函数都有反函数

【答案】B

2．将"x2+y2≥2xy"改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）

A．，都有

B．，都有

C．，都有

D．，都有

【答案】A

3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

4．下列命题中的假命题是（ ）

　A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

　D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ

　【答案】B

5．对于下列语句

（1） （2）

（3） （4）

其中正确的命题序号是 .（全部填上）

【答案】（2）（3）