课堂探究

　　1．三个正数或三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件

　　剖析："一正"：不论是三个数或者n个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a＋b＋c≥3，取a＝b＝－2，c＝2时，a＋b＋c＝－2，而3＝6，显然－2≥6不成立．

　　"二定"：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋...＋an为定值)，求其积a1a2...an的最大值；二是已知乘积a1a2...an为定值，求其和a1＋a2＋...＋an的最小值．

　　"三相等"：取"＝"号的条件是a1＝a2＝a3＝...＝an，不能只是其中一部分相等．

　　不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，前者要求a，b∈R，后面要求a，b，c∈R＋.要注意区别．

　　2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法

　　剖析：为了使用三个正数的算术几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y＝＋x2＝＋＋，其中把x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y＝＋x2＝＋＋x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但"三相等"这个要求就无法实现了，这是因为：取"＝"号的条件是＝＝x2，显然x无解．

　　题型一 应用三个正数的算术几何平均不等式求函数的最值

　　【例1】已知x＞0，求函数y＝x(1－x2)的最大值．

　　分析：为使数的"和"为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×.求出最值后再开方．

　　解：∵y＝x(1－x2)，

　　∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.

　　∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，

　　∴y2≤3＝.

　　当且仅当2x2＝1－x2，即x＝时取等号成立．

　　∴y≤.∴y的最大值为.

反思 对式子拼凑，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题