明目标、知重点

1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．

1．概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．

探究点一　复合函数的定义

思考1　观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？

答　y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过"复合"得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．

思考2　对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？

答　复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．

思考3　在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？

答　A⊆B.

小结　要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．

例1　指出下列函数是怎样复合而成的：

(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；

(3)y＝cos 3x.

解　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；

(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；