复 数 与 几 何

复数与几何有着非常密切的关系，复数a+bi（a、b∈R）与复平面内的点 P（a、b）及向OP是一一对应的，这就为建立复数与几何的相互关系奠定了基础，为数形结合解决复数问题提供了依据，复数加、减、乘法的几何意义，又为用复数求解几何问题提供了依据。复数与几何这一课题，有很丰富的内容，对培养和提高综合应用数学知识和方法分析、解决问题的能力，开拓解题思路是十分有益的。

　　一、复数运算的几何意义

　　复数加法和减法的几何意义是向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则。

　　由这一意义可知：d=|Z1Z2|=|z2-z1|表示复平面上两点间的距离。这是一个十分重要而有用的结论。

　　例1、复数z≠0，点A、B分别对应复数z和（1-i）z，求证：ΔOAB是等腰直角三角形。

　　证明：∵|OA|=|z|

　　|OB|=|（1-i）z|=|z|

　　|AB|=|（1-I）z-z|=|-zi|=|z|

　　∴|OA|=|AB|，且|OB|2=|OA|2+|AB|2

　　即ΔOAB是等腰直角三角形

　　例2、（全国高考题）z1、z2∈C，|z1|=5，|z1-z2|=7, 求的值

　　简答如下：易知O、Z1、Z2构成如图三角形

　　COS∠Z1OZ2==-

　　∴sin∠Z1OZ2=

　　∴=（cos∠Z1OZ2+isinZ1OZ2）=-

　　二、复数与区域

　　当复数Z的实部、虚部、模、辐角分别在一定范围内取值时，所对应的点Z会在复平面上形成一定区域，反之，根据点Z在复平面上的区域，也可确定以上某个量的取值范围。

　　例3、已知Zi满足|z+3-i|=，求|z|与argz的取值范围，并求出使|z|与argz取得最大值和最小值的复数z。

　　简答：由方程|z+3-i|=表示的图形（如图）易知：

　　|OB| ≤|z|≤|OA|，π-∠POQ ≤argz ≤π

由此不难算出：