§2 数学证明

自主整理

1.合情推理的结论有时不正确,对于数学命题,需要通过___________严格证明.

2.___________是最常见的一种演绎推理形式.

第一段讲的是一般性道理,称为___________;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为_____________;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为_____________.

高手笔记

1.三段论是演绎推理的一般模式,可表示为:

大前提:M是P,

小前提:S是M,

结论:S是P.

2.在应用三段论证明的过程中,因为作为一般性道理的大前提被人们熟知了,所以书写时往往省略大前提.

3.合情推理是认识世界、发现问题的基础.结论不一定正确.演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础,二者相辅相成,在数学中证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来,只要在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论就正确.

名师解惑

三段论推理

剖析:三段论法的论断基础是这样一个公理："凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体."简言之:"全体概括个体."

三段论中大前提是一个一般性结论,都具有的结论是共性,小前提是指其中的一个,结论为这一个也具有大前提中的结论,要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中一个有错误,结论就不正确,如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物,所以鱼用肺呼吸,此推理显然错误,错误的原因是大前提错了.再如所有的能被2整除的数是偶数.合数是偶数所以合数能被2整除.错误的原因是小前提错了.

讲练互动

【例1】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.

已知在如图所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AD,AC和BD是它的对角线.

求证:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA.

分析：本题可由三段论逐步推理论证.

证明：(1)等腰三角形两底角相等, (大前提)

△DAC是等腰三角形,DA、DC为两腰, (小前提)

∴∠1=∠2. (结论)

(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等, (大前提)

∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角, (小前提)

∴∠1=∠3. (结论)

(3)等于同一个量的两个量相等, (大前提)

∠2和∠3都等于∠1, (小前提)