14.2　直接证明与间接证明

典例精析

题型一　运用综合法证明

【例1】设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.

【证明】因为a＋b＝1，

所以＋＋＝＋＋＝1＋＋1＋＋≥2＋＋＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝时等号成立.

【变式训练1】设a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.

【证明】因为a，b，c＞0，根据基本不等式，

有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.

即＋＋≥a＋b＋c.

题型二　运用分析法证明

【证明】由I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，

故要证I2＜4S，只需证a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即a2＋b2＋c2＜2S.

欲证上式，只需证a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，

即证(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，

只需证三括号中的式子均为负值即可，

即证a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，

即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，

显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.

【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.

(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.

【变式训练2】已知a＞0，求证：－≥a＋－2.

【证明】要证－≥a＋－2，