抛物线定义的应用-教师版

一.综述

　　抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.

　　抛物线的考题中,对抛物线定义的考查一直都是热点.凡已知条件中涉及到抛物线上点到焦点距离或到准线(或与准线平行的线)距离的都可以考虑利用定义进行转化,从而解决问题.

　　以开口朝右的抛物线为例,设抛物线的焦点为F,准线为l,点为抛物线C上的动点.则有: 焦半径;过焦点的弦AB长为

二.例题精讲 破解规律

例1. 抛物线y^2=2px，p>0，F为抛物线的焦点，A,B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D(a,0)，a>0，m=|(AF) ⃗|+|(BF) ⃗ |.证明：a是p,m的等差中项.

分析:先化简m=|(AF) ⃗ |+|(BF) ⃗ |得到〖m=x〗_1+x_2+p,再根据线段AB的中垂线的性质得到x_1+x_2=2a-2p，把这两个式子结合起来即可证明a是p,m的等差中项.

解析:设A(x_1,y_1 ),B(x_2,y_2 )，由抛物线定义知:

|(AF) ⃗|+|(BF) ⃗|=x_1+p/2+x_2+p/2=x_1+x_2+p

又AB中垂线交x轴于D(a,0)，故

〖(x_1-a)〗^2+〖y_1〗^2=〖(x_2-a)〗^2+〖y_2〗^2⇒(x_1+x_2-2a)(x_1-x_2)=〖y_2〗^2-〖y_1〗^2=2p(x_2-x_1)，

因为x_2≠x_1，所以x_1+x_2-2a=-2p，x_1+x_2=2a-2p，

故m=|(AF) ⃗|+|(BF) ⃗|=x_1+x_2+p=2a-p

即a=(m+p)/2，a是p,m的等差中项.

点评:由抛物线定义将m转化为AB的横坐标的表达式,再利用垂直平分线的性质得到另外一组表达式,化简后即可得到所证目标.

规律总结: 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.

现学现用1: 抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线为l，M(-3,0)，若抛物线C上存在一点N，使M,N关于直线l对称，则p=（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解析:∵M,N关于过F倾斜角为60^∘的直线对称，∴|MF|=|NF|，由抛物线定义知，|NF| 等于点N 到准线的距离，即|NF|"=" x_N+p/2，由于|MF|=p/2-(-3) ，∴x_N+p/2=p/2-(-3)，x_N=3，代入抛物线方程可得y_N=-√6p，k_MN=(-√6p)/(3-(-3) )=-√3/3，解得p=2，故选A.

例2. 过抛物线焦点的直线与该抛物线交于， 两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（ ）