点到直线的距离

教学目标

1.使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点，并能运用这一公式.

2.学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法.

3.教学中体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力.

教学重点与难点

点到直线的距离公式的研究探索过程是重点，点到直线的距离公式的推导是难点.

教学过程

师：什么是平面上点到直线的距离?

生：(略).

师：如何求平面上一点到一直线的距离?问题1：已知点P(-1，2)，和直线l：2x+y-10=0，求P点到直线l的距离.

生：先求出过P点与l垂直的直线l′：x-2y+5=0，再求出l与l′的交点P′(4，3)，则=即为所求.

师：问题2：已知点P(m,n)，直线l： y=kx+b，求点P到l的距离d.

生：可用问题1的方法，但运算非常复杂.

师：能否换一个角度去解决这个问题.(启发学生从最基本的概念入手分析)事实上点到直线的距离就是求过点向已知直线所引垂线段的长，而通常线段的长要利用三角形来求解.如何构造一个含所求线段又易于求解的三角形是解决这个问题的关键.我们知道，平面上点到直线的距离等于过这个点与已知直线平行的平行线直线的距离.好，这样就可以将所求线段平行移动之后放在最佳的位置.

生：过P点作与l平行的直线l′，l与l′的距离即为所求(如图1-29).

师：(板书图形)观察图形特征.

生：可利用两平行线与y轴交点间的线段构造三角形.

师生共同完成下面过程：设过P点与l平行的直线为l′，方程是y=kx+b′，l与l′分别交y轴于Q点、R点，则｜RQ｜=｜b-b′｜，过点R作RM⊥l于M，则｜RM｜=d.于是出现了直角三角形RMQ，是个好兆头.

在RtΔRMQ中(α为直线为倾斜角)，

①若α＜ (如图1-30(1))｜RM｜=｜RQ｜·cosα

②若α＞ (如图1-30(2))｜RM｜=｜RQ｜·cos(π-α).