1.2 余弦定理

第1课时 余弦定理及其直接应用

学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

知识点一 余弦定理

思考1 根据勾股定理，若在△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C．①

试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？

答案 当a＝b＝c时，C＝60°，

a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2，

即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos C.

思考2 在c2＝a2＋b2－2abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？

答案 abcos C＝|\s\up6(→(→) \s\up6(→(→)|cos(\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)(＝\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→).

∴a2＋b2－2abcos C＝\s\up6(→(→)2＋\s\up6(→(→)2－2\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝(\s\up6(→(→)－\s\up6(→(→))2＝\s\up6(→(→)2＝c2.

猜想得证．

梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述

余弦定理 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，

b2＝a2＋c2－2accos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 推论 cos A＝，

cos B＝，

cos C＝