3．1.2　瞬时速度与导数

学习目标　1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在某一点处的导数的定义．

知识点一　瞬时变化率

思考1　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．

答案　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.

思考2　当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？

答案　当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．

梳理　(1)物体运动的瞬时速度

设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当t0到t0＋Δt时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt的平均变化率趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．

(2)函数的瞬时变化率

设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．

知识点二　函数的导数

思考　f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？

答案　f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值．f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数．f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．

梳理　(1)函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ .

(2)导函数定义

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新