1.3.3　最大值与最小值

学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．

知识点　函数的最大(小)值与导数

如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．

思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．

答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．

思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？

答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．

思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？

答案　不一定，也可能是区间端点的函数值．

梳理　(1)最大值与最小值

①如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值惟一．

②如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值惟一．

(2)求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

①求f(x)在区间(a，b)上的极值．

②将第①步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．

类型一　求函数的最值

例1　已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当x∈[－，3]时，求f(x)的最大值与最小值．