§1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
知识点一 函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图,并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点,H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).
思考1 若旅游者从点A爬到点B,自变量x和函数值y的改变量分别是多少?
答案 自变量x的改变量为x2-x1,记作Δx,函数值的改变量为y2-y1,记作Δy.
思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度?
答案 对山路AB来说,用=可近似地刻画其陡峭程度.
梳理 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式:=.