2.2.1　综合法与分析法

明目标、知重点　1.了解直接证明的两种基本方法--综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.

1.综合法

从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.

2.分析法

从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.

[情境导学]

证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识.

探究点一　综合法

思考1　请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？

已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

证明　因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.

又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.

因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

总结：此证明过程运用了综合法.一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

思考2　综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？

答　因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的"猜想"，所以综合法是演绎推理.

例1　在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.

证明　由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①

由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②