3.1.1 随机事件的概率

项目 内容 课题 3.1.1 随机事件的概率

　　　　　　　　　　　　（共 1 课时） 修改与创新 教学

目标 1.通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.

2.通过获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件A出现的频率的意义，真正做到在探索中学习,在探索中提高.

3.通过数学活动,即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念,明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系,体会数学知识与现实世界的联系.

教学重、

难点 教学重点：

1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.

2.正确理解概率的意义.

教学难点：

1.对概率含义的正确理解.

2.理解频率与概率的关系. 教学

准备 多媒体课件 教学过程

导入新课

日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如,你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等.尽管没有确切的答案,但大体上围绕一个数值在变化,这个数值就是概率.教师板书课题：随机事件的概率.

推进新课

新知探究

提出问题

（1）什么是必然事件？请举例说明.

（2）什么是不可能事件？请举例说明.

（3）什么是确定事件？请举例说明.

（4）什么是随机事件？请举例说明.

（5）什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？

（6）频率与概率的区别与联系有哪些?

活动：学生积极思考,教师引导学生考虑问题的思路,结合实际的情形分析研究.（1）导体通电时,发热；抛一块石头,下落；"如果a＞b,那么a-b＞0";这三个事件是一定要发生的.但注意到有一定的条件.（2）在常温下,焊锡熔化；在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化；"没有水,种子能发芽"；这三个事件是一定不发生的.但注意到有一定的条件.（3）抛一块石头,下落；"如果a＞b,那么a-b＞0";在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化；"没有水,种子能发芽"；这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的.是确定的,不是模棱两可的.（4）掷一枚硬币,出现正面；某人射击一次,中靶；从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；"某电话机在1分钟内收到2次呼叫"；这四个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.（5）做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点："随机事件发生的随机性和随机性中的规律性".通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,也体现了新课标的理念.

具体如下：

第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表中：

姓名[ ] 试验次数 正面朝上总次数 正面朝上的比例 思考

试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？

第二步 由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.

组次 试验总次数 正面朝上总次数 正面朝上的比例 思考

与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？

通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.

第三步 用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0（反面）,纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？

第四步 把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.

思考

这个条形图有什么特点？

引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知新的目的.

第五步 请同学们找出掷硬币时"正面朝上"这个事件发生的规律性.

思考

如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？

引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律,并让学生叙述出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系.一般情况下重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果是不一致的,这更说明随机事件的随机性.

进一步总结事件的频数与频率,概括出概率的概念.（6）通过（5）的概括和总结写出频率与概率的区别与联系.

讨论结果：（1）必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件（certain event）,简称必然事件.

（2）不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件（impossible event）,简称不可能事件.

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件（random event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,...表示.

（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数na为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率（relative frequency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率（probability）.

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数na与试验总次数n的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.

频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.

频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.

概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.

应用示例

例1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.

（1）"抛一石块,下落".

（2）"在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化"；

（3）"某人射击一次,中靶"；

（4）"如果a＞b,那么a-b＞0";

（5）"掷一枚硬币,出现正面"；

（6）"导体通电后,发热"；

（7）"从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签"；

（8）"某电话机在1分钟内收到2次呼叫"；

（9）"没有水分,种子能发芽"；

（10）"在常温下,焊锡熔化".

分析：学生针对有关概念,思考讨论,教师及时指点,为后续学习打下基础.根据自然界的规律和日常生活的经验积累,根据定义,可判断事件（1）（4）（6）是必然事件；事件（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件.

答案：事件（1）（4）（6）是必然事件；事件（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件.

点评：紧扣各类事件的定义,结合实际来判断.

例2 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示：

射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 （1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少？

分析：学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件A出现的频数na与试验次数n的比值即为事件A的频率,当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A的概率.

解：（1）表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

（2）由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89.

点评：概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.

变式训练

一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：

时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数 2 883 4 970 6 994 8 892 男婴出生的频率 （1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；

（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？

答案：（1）0.520 0.517 0.517 0.517

（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数0.518上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.

知能训练

1.指出下列事件是必然事件、不可能事件、还是随机事件.

（1）某地1月1日刮西北风；

（2）当x是实数时,x2≥0；

（3）手电简的电池没电,灯泡发亮；

（4）一个电影院某天的上座率超过50%.

答案：（1）随机事件；（2）必然事件；（3）不可能事件；（4）随机事件.

2.大量重复做掷两枚硬币的实验,汇总实验结果,你会发现什么规律？

解答：随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上,从而获取随机事件的概率.

点评：让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法.

拓展提升

1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是（ ）

A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定

答案：B

提示：正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件.

2.下列说法正确的是（ ）

A.任一事件的概率总在（0,1）内 B.不可能事件的概率不一定为0

C.必然事件的概率一定为1 D.以上均不对

答案：C

提示：任一事件的概率总在［0,1］内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.

3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题.

每批粒数 2 5 10 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1 339 1 806 2 715 发芽的频率 （1）完成上面表格;

（2）该油菜子发芽的概率约是多少？

解：（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897.

4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示.

投篮次数[ ] 48 60 75 100 100 50 100 进球次数m 36 48 60 83 80 40 76 进球频率 （1）计算表中进球的频率；

（2）这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少？

解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80,因此,进球的概率约为0.80.

课堂小结

本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上（即事件A的概率）,这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.

作业

完成课本本节练习.