课堂导学

三点剖析

一、利用基本不等式求最值

【例1】若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )

A.2∈M,0∈M B.2M,0M

C.2∈M,0M D.2M,0∈M

解析:M={x|x≤},

∵

=k2-1+=(k2+1)+-2

≥-2>2,

∴2∈M,0∈M.

答案:A

温馨提示

本题主要考查一元不等式及基本不等式求最值.在本例中表达式经过变形化为"x+(a>0)"型的式子,然后利用基本不等式求得最小值.在求最值时,形如"x+(a>0)"的最值问题是一种非常典型的用基本不等式来求的类型,有很多最值问题可转化为该类型,因此,在解题时应给予高度重视.

各个击破

类题演练1

已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=,记动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程;

(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.

解析:(1)由|PM|-|PN|=知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又半焦距c=2,故b=.

所以W的方程为=1(x≥).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).

令si=xi+yi,ti=xi-yi,

则siti=2,且si>0,ti>0(i=1,2),

所以=x1x2+y1y2