二一般形式的柯西不等式

　　　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P32

名称 形式 等号成立条件 三维形式柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3) 一般形式柯西不等式 设a1，a2，a3，...，an，b1，b2，b3，...，bn是实数，则(a＋a＋...＋a)·(b＋b＋...＋b)≥(a1b1＋a2b2＋...＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2，...，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，...，n) 　　

　　[说明]　一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

　　　　　　　　　　　　　　　 对应学生用书P32

利用柯西不等式证明不等式 　　

　　[例1]　设x1，x2，...，xn都是正数，求证：＋＋...＋≥.

　　[思路点拨]　根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．

[证明]　∵(x1＋x2＋...＋xn)