2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理

1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点)

2．掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点)

3．理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角。(难点)

知识点一 空间向量的标准正交分解与坐标表示

在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴， 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y， )，使得a＝xi＋yj＋ k.我们把a＝xi＋yj＋ k叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基．(x，y， )叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y， )，a＝(x，y， )叫作向量a的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y， )，向量\s\up12(→(→)的坐标也是(x，y， )．

知识点二 投影

(1)一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．如图所示，向量a在向量b上的投影为OM＝|a|cos〈a，b〉．

(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．

知识点三　空间向量基本定理

(1)如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.

(2)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一个基底，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1、e2、e3的分解，e1、e2、e3都叫作基向量．

(3)当向量e1、e2、e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e1＝i，e2＝j，e3＝k时，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3叫作a的标准正交分解．

知识点四　空间向量运算的坐标表示

1．空间向量运算的坐标表示

设a＝(x1，y1， 1)，b＝(x2，y2， 2)，则：

(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2， 1＋ 2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和．

(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2， 1－ 2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差．

(3)λa＝(λx1，λy1，λ 1)(λ∈R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．