题型一　范围问题

例1　(2018·开封质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．

解　(1)∵双曲线的离心率为，

∴椭圆的离心率e＝＝.

又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，

∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1，

∴椭圆方程为＋y2＝1.

(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，

M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立

消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)

＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.

又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，

故·＝＝k2，

则－＋m2＝0.

由m≠0得k2＝，解得k＝±.

又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)

＝16(4k2－m2＋1)>0，得0

显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．

设原点O到直线的距离为d，