2019-2020学年北师大版选修2-1 空间向量的数量积 学案
【学习目标】1. 掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。
2. 能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。
3. 能用向量的数量积判断向量的垂直.
【要点梳理】
要点一、空间向量的数量积
1.两个向量的数量积.
已知两个非零向量a、b,则|a|·|b|cos〈a,b〉叫做向量a与b的数量积,记作a·b,
即a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉.
要点诠释:
(1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量,所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等,都与平面向量相同.
(2)两向量的数量积,其结果是数而非向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.
(3)两个向量的数量积是两向量的点乘,与以前学过的向量之间的乘法是有区别的,在书写时一定要将它们区别开来,不可混淆.
2.空间向量数量积的性质
设是非零向量,是单位向量,则
①;
②;
③或;
④;
⑤
3.空间向量的数量积满足如下运算律:
(1)(a)·b=(a·b);
(2)a·b=b·a(交换律);
(3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).
要点诠释:
(1) 对于三个不为0的实数a、b、c,若a·b=a·c,则b=c;对于三个不为0的向量,
若不能得出,即向量不能约分.
(2) 若a·b=k,不能得出(或),就是说,向量不能进行除法运算.
(3) 对于三个不为0的实数,a、b、c有(ab)c=a(bc),对于三个不为0的向量a、b、c,