§6 平面向量数量积的坐标表示

课前导引

问题导入

【问题】 已知点A（1，2）和B（4，-1），问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB=90°，若不能，请说明理由；若能，求出C点坐标.

思路分析:本题是开放性问题，没有明确的标准，需要去探究.解此类问题，一般是假定存在，通过推理或运算，求出结果或找出矛盾.

设存在点C（0,y）,使∠ACB=90°，则⊥.

∵=（-1，y-2）,=(-4,y+1),

·=0,

即4+（y-2）(y+1)=0.y2-y+2=0,

而在方程y2-y+2=0中，Δ＜0,所以方程无解，即不存在满足条件的点C.

知识预览

一、平面向量数量积的坐标表示

1.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，

则i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0.

2.推导坐标公式

∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,

∴a·b=（x1i+y1j）(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1ij+y1y2j2=x1x2+y1y2.

从而获得公式：a·b=x1x2+y1y2.

二、长度、角度、垂直的坐标表示

1.若a=(x,y)，则有|a|=.

证明：∵a=(x,y)，

∴|a|2=a·a=(x,y)·（x,y）=x2+y2，

∴|a|=.

2.设A、B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2)，

则|AB|=.

证明：|AB|=||=

=.

3.若a=(x1,y1)，b=(x2,y2),a、b的夹角为θ，则有

cosθ=.

公式推导：由a·b=x1x2+y1y2，a·b=|a||b|cosθ=cosθ,