典题精讲

1.如何快速作出正切函数的图像？

剖析：我们知道五点法可以快速画出正、余弦函数的图像的草图.正切函数的图像不是连续的曲线，不同于正、余弦函数的图像.其突破方法是从正切函数的图像和性质上来分析，找出画草图的方法.

由于正切函数的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}，所以函数的图像被垂直于x轴的直线x=kπ+ (k∈Z)所隔开，但两端连续的无限接近这些平行线，所以直线x=kπ+(k∈Z)称为正切函数的渐近线.

画正切函数的图像时，也是先画一个周期的图像即函数y=tanx,x∈(-,)的图像，再把这一图像向左、右平移（每次平移π个单位长度），从而得到正切函数的图像.

函数y=tanx,x∈(-,)的作图，通过图像的特点将发现,函数的图像过(-,-1),( ,1),(0,0)三点，以直线x=±为渐近线，这样根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图像的草图.

2.为什么正切函数的最小正周期是π？

剖析：疑点是正切函数是周期函数，是否还有比π更小的正周期.其突破方法是利用反证法，结合周期函数的定义来理解、分析.

∵tan(x+π)=tanx，∴正切函数是周期函数，π是一个周期.

假设存在一个非零常数T，且0＜T＜π,使对任意x∈(kπ-,kπ+）(k∈Z)，总有tan(x+T)=tanx成立.

不妨令x=0，则tanT=tan0=0，

则T=kπ(k∈N*).

∴T=kπ≥π，这与假设0＜T＜π矛盾.

∴假设不成立,

即正切函数的最小正周期是π.

典题精讲

例1(2005湖南高考卷，文2)tan600°的值是（ ）

A. B. C.- D.

思路解析：运用诱导公式化为锐角求值.tan600°=tan(180°×3+60°)＝tan60°=.

答案：D

变式训练1tan()=____________.

思路解析：tan()=-tan=-tan(7π+)=-tan＝-.

答案：-