§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理

3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示

自主整理

1.在给定的空间直角坐标系中,i,j,k为x轴,y轴,z轴正方向的单位向量,对于空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得a=xi+yj+zk,我们把a=xi+yj+zk叫作a的___________.把i,j,k叫作___________.

(x,y,z)叫作空间向量a的___________,记为a=___________,a=(x,y,z)叫作向量a的___________.

2.在空间直角坐标系中,点P的坐标为(x,y,z),向量OP的坐标是___________.

3.设a=xi+yj+zk,那么a·i=x,a·j=y,a·k=z分别称为向量a在单位向量i,j,k上的___________,向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的___________.

4.一般地,若b0为b的单位向量,称a·b0=|a|cos〈a,b〉为向量a在向量b上的___________.

如图,向量a在向量b上的投影为OM=|a|cos〈a,b〉.

高手笔记

1.空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上,选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i,j,k}(i,j,k按右手系排列)建立的坐标系,下面介绍空间直角坐标系及其有关的概念.

(1)单位正交基底

如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫作单位正交基底,常用{i,j,k}表示.

(2)空间直角坐标系

在空间选一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,它们都叫坐标轴.这样我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫原点,向量i,j,k都叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,它们分别是xOy平面,xOz平面,yOz平面.

(3)空间直角坐标系的画法

作空间直角坐标系O-xyz时,一般使用∠xOy=135°,∠yOz=90°.

在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指能指向z轴的正方向,则称此坐标系为右手直角坐标系,一般使用的坐标系都是右手直角坐标系.

(4)空间向量的坐标表示

给定一个空间直角坐标系和向量a,其坐标向量为i,j,k,若a=a1i+a2j+a3k,则有序数组(a1,a2,a3)叫作向量a在此直角坐标系中的坐标,上式可简记为a=(a1,a2,a3).

　　在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任一点A,对应一个向量,若=xi+yj+zk,则有序数组(x,y,z)叫作点A在此空间直角坐标系中的坐标,记为A(x,y,z),其中x叫点A的横坐标,y叫点A的纵坐标,z叫点A的竖坐标.写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.

(5)空间任一点P的坐标的确定

过P作面xOy的垂线,垂足为P′,在面xOy中,过P′分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,C,则x=|P′C|,y=|AP′|,z=|PP′|,如图所示.