"分类与整合思想"专题及专项训练

一、大纲解读

分类与整合思想是数学中的一种重要思想,是历年高考考查的重点之一,此类试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,在考试中的难度属中高档.

高考对分类与整合思想的考查,主要有四个方面:一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类标准要统一,不重不漏;三是分类之后解题如何展开;四是如何整合.

纵观近几年高考试题,通常是由参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论.归纳起来引起分类讨论的原因大致有五种:一是涉及的数学概念是分类定义的;二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;三是求解的数学问题的结论有多种可能性;四是数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果;五是对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.

二、高考预测

预计高考对分类与整合思想的考查可能会呈现以下趋势:试题将会在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中出现,在解决含参数问题、绝对值问题、导数问题、最值问题上运用较多,在高考中所占的比重较大,且对理科要求较高,而对文科在这方面的要求可能相对较低.

三、重点剖析

重点1 对等比数列公比q的分类讨论；对n奇偶性的讨论；解分式不等式时分类讨论各因式的符号；运用比较法时对式子符号的讨论等等．

例1 设等比数列的公比为，前n项和．

(Ⅰ)求的取值范围；

(Ⅱ)设，记的前n项和为，试比较与的大小．

分析：由于涉及等比数列的前n项和公式的应用，须分和讨论．欲比较与的大小，只须求出与后，再用作差法比较．

解：(Ⅰ)因为是等比数列，

当

上式等价于不等式组： ①

或 ②