2018-2019学年人教A版选修2-3 二项式定理 学案

【学习目标】

1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

【要点梳理】

要点一：二项式定理

1.定义

一般地,对于任意正整数,都有：

()，

　　这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。

　　式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，

　　其中的系数（r=0，1，2，...，n）叫做二项式系数，

　　2．二项式(a+b)n的展开式的特点：

(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；

(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；

(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；

3.两个常用的二项展开式：

①()

②

要点二、二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：

（）

公式特点：

①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；

②字母b的次数和组合数的上标相同；

③a与b的次数之和为n。

要点诠释：

（1）二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项和(b+a)n的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．

（2）通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项是（只需把－b看成b代入二项式定理）。

要点三：二项式系数及其性质

1.杨辉三角和二项展开式的推导。

在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。