§4 用向量讨论垂直与平行

自主整理

1.设空间中两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则:

平行 垂直 l1与l2 _____________ ___________ l1与α1 _____________ ___________ 2.线面垂直判定定理:若一条直线垂直于一个平面内的______________,则该直线与此平面垂直.

3.面面平行判定定理:若一个平面内有两条相交直线都______________另一个平面,则这两个平面平行.

4.三垂线定理:若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的____________,则这两条直线垂直.

5.面面垂直判定定理:若一个平面经过另一个平面的______________,则这两个平面垂直.

高手笔记

1.直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置,因此可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线,平面间的平行,垂直等.

2.用空间向量解决空间线面关系的步骤:

(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点,直线,平面,把立体几何问题转化为向量问题.

(2)通过向量运算,研究点,直线,平面之间的位置关系及它们之间距离和夹角等问题.

(3)把向量的运算结果"翻译"成相应的几何意义.

名师解惑

1.怎样确定直线的方向向量?

剖析:在直线上取有向线段表示的向量,或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量,均为直线的方向向量.在解立体几何题时,直线的方向向量一般不再叙述而直接应用,可以参与向量运算或向量的坐标运算.在给出的几何体比较特殊能够建立空间直角坐标时,坐标运算更为简单.

2.怎样确定平面的法向量?

剖析:平面的法向量就是平面法线的方向向量,因此可以先确定平面的法线,再取它的方向向量.也可以直接判定向量与平面内的两条相交直线垂直,而得到平面的法向量.平面的法向量确定通常有两种方法:(1)几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直;(2)几何体中没有具体的直线,此时可以采用待定系数法求解平面的法向量.

3.如何利用向量知识判断直线,平面的平行问题?

剖析:平行关系包括:线线平行,线面平行和面面平行.用向量知识判断时,主要是研究直线的方向向量,平面的法向量之间的关系.通常情况下,构建空间直角坐标系,用坐标运算进行.两直线的方向向量共线时,两直线平行.一直线与一平面的法向量垂直时,直线与平面平行.两平面的法向量共线时,两平面平行.一般地,用向量共线的充要条件或向量数量积的计算公式求解.

4.如何利用向量知识判断直线,平面的垂直?

剖析:垂直问题包括:直线与直线的垂直,常用两直线的方向向量的数量积为0来判断;直线与平面的垂直,常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断;平面与平面垂直,常用法向量垂直来判断.用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似.主要研究向量的共线或垂直,可以用向量的基本运算进行,当几何体比较特殊时,构建空间直角坐标系解题更为简单.

讲练互动

【例1】已知P是正方形ABCD平面外一点,M,N分别是PA,BD上的点,