3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

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学习目标 1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

2.掌握空间向量的坐标运算的规律；

3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直． 学习重点

难点 1.空间向量基本定理、向量的坐标运算．

2.理解空间向量基本定理． 学法指导 通过平面向量基本定理得出空间向量基本定理 课前预习 1、平面向量基本定理：

　　如果两个向量________，那么对空间任一向量，存在有序实数组使____________________

2、空间向量基本定理：

如果三个向量________，那么对空间任一向量，存在有序实数组使____________________ 预习评价 如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且\s\up6(→(→)＝a，\s\up6(→(→)＝b，\s\up6(→(→)＝c.

用a，b，c表示向量\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)

课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题） 一、温故知新

1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的两个向量和，使. 如果时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，则存在一对实数x、y，使得，即得到平面向量的坐标表示.

思考：

我们知道，平面的任意向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？

2、空间向量基本定理：如果三个向量________，那么对空间任一向量，存在有序实数组使____________________

注：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看做是由向量生成的。

故叫做空间的一个______，都叫做________

特别提示：对于基底除了应知道不共面还应明确：

（1）任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底。

（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着他们都不是

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。

3、空间向量的坐标表示

设 为有公共起点的三个两两垂直的三位向量（我们称他们为单位正交基底），以的公共起点为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 。

由空间向量基本定理可知，存在有序实数组，使得

我们把称作向量在单位正交基底下的坐标，记作_________________

例 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用

表示和.