高手支招3综合探究

1.用反证法证明问题的本质

反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.

也就是说,反证法是由证明pq转向证明:qr...t,t与假设或与某个真命题矛盾,

q为假,推出q为真的方法.

从逻辑角度看,命题"若p则q"的否定是"若p则q"由此进行推理,如果发生矛盾,那么"若p则q"为假,因此可知"若p则q"为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的.由于受"反证法就是证逆否命题"的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.

归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.

2.在证明的过程中如何反设

反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.

反证法中常用的"结论词"与"反设词"如下:

(1)等于--不等于;

(2)大于--小于等于;

(3)小于--大于等于;

(4)对所有x成立--存在某个x不成立;

(5)至少有一个--一个也没有;

(6)至多一个--至少两个;

(7)至少n个--至多n-1个;

(8)至多n个--至少n+1个;

(9)p或q--p且q;

(10)p且q--p或q.

高手支招4典例精析

【例1】证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

已知,如图，在⊙O中弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径.

求证:弦AB、CD不被P平分.

思路分析：利用反证法和圆的性质易证.

证明：如下图.假设弦AB、CD被P平分,由于P点一定不是圆心O,连结OP,据垂径定理的推论,有OP⊥AB,OP⊥CD.

即过点P有两条直线与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.

所以,弦AB、CD不被P平分.

【例2】如果a＞b＞0,那么＞.