第三讲 柯西不等式与排序不等式

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　　专题一　柯西不等式的应用

　　利用柯西不等式证明其他不等式或求最值，关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化．

　　已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．

　　提示：由a2＋b2＋c2＋d2＋e2联想到应用柯西不等式．

　　解：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，

　　即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2，

　　即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，∴0≤e≤.

　　即e的取值范围是.

　　若n是不小于2的正整数，试证：

　　＜1－＋－＋...＋－＜.

　　提示：注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正，偶数项为负，可进行恒等变形予以化简．

　　证明：1－＋－＋...＋－

　　＝－2

＝＋＋...＋，