第1课时 二项式定理
问题1:我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4的展开式.
提示:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
问题2:上述两个等式的右侧有何特点?
提示:展开式中的项数是n+1项,每一项的次数为n.
问题3:你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?
提示:因(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式乘法法则知,从四个a+b中选a或选b是任意的.若有一个选b,则其余三个都选a,其方法有C种,式子为Ca3b;若有两个选b,则其余两个选a,其方法有C种,式子为Ca2b2.
问题4:能用类比方法写出(a+b)n(n∈N*)的展开式吗?
提示:能,(a+b)n=Can+Can-1b+...+Cbn.
1.二项式定理
公式(a+b)n=Can+Can-1b+...+Can-rbr+...+Cbn(n∈N*),叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,它一共有n+1项.
2.二项展开式的通项