2.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标:1.掌握抛物线的几何性质.(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.抛物线的几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 性
质 焦点 ,0(p) ,0(p) 2(p) 2(p) 准线 x=-2(p) x=2(p) y=-2(p) y=2(p) 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 性
质 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e=1 2.焦点弦
直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,由抛物线的定义知,|AF|=x1+2(p),|BF|=x2+2(p),故|AB|=x1+x2+p.
3.直线与抛物线的位置关系
直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组y2=2px(y=kx+b,)解的个数,即二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的个数.
当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若Δ=0时,直线与抛物线有一个公共点;若Δ<0时,直线与抛物线没有公共点.
当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点.