2019-2020学年北师大版选修2-3 离散型随机变量的均值与方差 教案

典例精析

题型一　期望与方差的性质的应用

【例1】设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4,5,6)，求E(ξ)，E(2ξ＋3)和D(ξ)，D(2ξ＋3).

【解析】E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋...＋x6p6＝3.5，

E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝10，

D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋...＋(x6－E(ξ))2p6＝，D(2ξ＋3)＝4D(ξ)＝.

【点拨】在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征及分布列，再准确运用公式，特别是利用性质解题.

【变式训练1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.

(1)求ξ的分布列、期望和方差；

(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.

【解析】(1)ξ的分布列为：

D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.

(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，

所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；

当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.

所以或

题型二　期望与方差在风险决策中的应用

ξ 0 1 2 P

η 0 1 2