§2　含有绝对值的不等式

　　2．1　绝对值不等式

　　1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明绝对值不等式的性质定理.

　　2.会利用绝对值不等式的性质定理证明简单的不等式.

　　绝对值的几何意义

　　(1)|a|表示在数轴上实数a对应的点与原点O的距离．

　　(2)|x－a|的几何意义是实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离．

　　定理

　　对任意实数a和b，有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

　　(1)定理揭示了任意两个实数和的绝对值与绝对值和之间的关系，其等号成立的条件是ab≥0.

　　(2)注意到定理中a，b是任意的实数，以－b代b，得|a－b|≤|a|＋|b|；以a－b代替实数a，得|a|－|b|≤|a－b|.因此可得|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

　　(3)定理在向量中也适用，即|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

　　(4)几何意义：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．

　　推论：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

　　(1)由于a－c，a－b与b－c都是实数，且a－c＝(a－b)＋(b－c)，因此可以利用整体代换的方法，根据定理来证明．

　　|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

　　(2)几何意义：不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|表示：数轴上任意一点到两点的距离之和不小于这两点的距离．

　　|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？

提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.