高 中 数 学 学 案

课题：1.1.3 四种命题间的相互关系 设计人： AAA

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重点

　　四种命题的概念及相互关系

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难点

　　四种命题的相互关系.

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目标

进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，

会分析四种命题的相互关系.

互

动

　　学

习

互

　动

学

　习

互

　动

　学

　习

一、热身训练

1、指出下列命题中的条件与结论，并判断真假。

（1）矩形的对角线互相垂直且平分；

（2）函数有两个零点.

2、根据四种命题的概念完成下表：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若，则

二、新课导入：

写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断它们的真假.

问题1：若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数.

问题2：如果x＞10 , 那么x＞0 .

　问题3：若b2－4ac＝0 , 则方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有两个相等的实根.

问题4：已知a,b∈R , 若a＝0 , 则ab＝0 .

问题5：若x2－3x＋2＝0 ，则x＝2 .

思考1？ 观察上面5个例子中的原命题、逆命题、否命题以及逆否命题，你能说出每个例子中任意两个命题之间的相互关系吗？

四种命题的形式和关系如下图：（教师引导学生归纳给出）

　　由原命题构成道命题只要将 和 换位就可以．由原命题构成否命题只要 和 分别否定为 和 ，但 和 不必换位．由原命题构成逆否命题时不但要将 和 换位，而且要将换位后的 和 否定·

　　原命题为真，它的逆命题不一定为真．

　　原命题为真，它的否命题不一定为真．

　　原命题为真，它的逆否命题一定为真．

　　因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式-一加以讨论．

　　思考2？ 观察上面5个例子中的原命题、逆命题、否命题以及逆否命题，你能说出每个例子中的四种命题的真假性有几种情况吗？

结合上面的5个实例和思考2，你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗？

知识导读，由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。

三、典例精析

例 1 证明：若x2＋y2＝0 , 则x＝y＝0 .

四、针对训练

1. 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.

（1）若，则；

（2）全等三角形一定是相似三角形；

（3）若，则全为0；

（4）函数有两个零点；

（5）同位角相等，两直线平行；

（6）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.