2018-2019学年北师大版选修4-5 简单形式的柯西不等式 学案

学习目标　1.认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值．

知识点　简单形式的柯西不等式

思考1　(a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？

答案　(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.

思考2　当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?

答案　当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.

思考3　若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？

答案　·≥|ac＋bd|.

梳理　(1)简单形式的柯西不等式

①定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.

当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．

②简单形式的柯西不等式的推论

(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；

·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；

·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．

以上不等式，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．

(2)柯西不等式的向量形式

设α，β是任意两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当向量α，β共线时，等号成立．

类型一　利用柯西不等式证明不等式