2018-2019学年北师大版选修4-5 数学归纳法的应用 学案

学习目标　1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳-猜想-证明的思想方法．

知识点一　用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式

思考1　用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？

答案　(1)归纳奠基：验证初始值．

(2)归纳递推：在假设n＝k成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立．

思考2　证明不等式与证明等式有什么不同？

答案　证明不等式需注意的是对式子进行"放缩"．

梳理　利用数学归纳法证明不等式

在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．

知识点二　贝努利不等式

对任意实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥1＋nx.

类型一　数学归纳法与放缩法结合证明不等式

例1　证明：1＋＋＋...＋＜2－(n∈N＋，n≥2)．

证明　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝2－＝，由于＜，因此命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，命题成立，

即1＋＋＋...＋＜2－.

当n＝k＋1时，1＋＋＋...＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋＝2－，即当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N＋，n≥2都成立．