1.3.1　函数的单调性与导数

[学习目标]

1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．

2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．

3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

[知识链接]

　以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？

答　根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．

[预习导引]

　函数的单调性与导数的关系

(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：

导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 (2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：

函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0

要点一　利用导数判断函数的单调性

例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．