§4　用向量讨论垂直与平行

第1课时　用空间向量解决立体几何中的平行问题

学习目标　1.了解空间点、线、面的向量表示.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．

知识点一　空间中平行关系的向量表示

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则

线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv(k∈R)

知识点二　利用空间向量处理平行问题

思考　(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．

(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？

(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？

答案　(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．

(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．

(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．

梳理　利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．

知识点三　平面的法向量及其求法

在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：

(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；