典题精讲

例1 在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中，

(1)有几种终边不相同的角？

(2)有几个属于区间(-360°，360°)内的角？

思路分析:本题主要考查对α=k·90°+45°,(k∈Z)所表示的角的认识.从代数角度看，取k=...，-2，-1，0，1，2，...，可以得α为...，-135°，-45°，45°，135°，225°，...；从图形角度看是以45°角为基础，依次加上90°的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90°，所得各角如图1-1-2所示.

图1-1-2

解:(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.分别是与45°、135°、225°、315°角终边相同的角.

(2)令-360°＜k·90°+45°＜360°，得-＜k＜.

又∵k∈Z，∴k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.

∴属于区间(-360°，360°)的角共有8个.

绿色通道:把代数计算与对图形的认识结合起来即数形结合，这样做会使这类问题处理起来更容易些.数形结合是解决数学问题的最重要的方法之一，做题时要注意自觉地应用.

变式训练 1 (经典回放)集合M={x|x=+,k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z},则有( )

A.M=N B.NM

C.MN D.M∩N=

思路解析:集合M是与、、、终边相同的角，连同这四个角组成的集合；N是与0、、、、π、、、终边相同的角，连同这八个角组成的集合.因此选项A、B、D均不正确，只有选项C正确.

答案:C

变式训练 2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-2π≤β＜4π的元素β写出来.

思路分析:先在［0,2π)范围内找出终边在直线y=x上的角，即可写出S；利用不等式求出k的值，即可写出β.

解:如图1-1-3所示，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是，在［0,2π)范围内，终边在直线y=x上的角有两个：和.