第一章导数及其应用1.6微积分基本定理

------------ 学 案

一、学习目标

　1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．

　2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．

二、自主学习

　1．导数与定积分有怎样的联系？

答　导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．

2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？

　答　根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：

　　　图(1)中S＝f(x)dx，图(2)中S＝－f(x)dx，图(3)中S＝f(x)dx－f(x)dx.

3．微积分基本定理

　如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．

4．函数f(x)与其一个原函数的关系

(1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx； (2)若f(x)＝xn(n≠－1)，则F(x)＝·xn＋1；

(3)若f(x)＝，则F(x)＝ln x(x>0)； (4)若f(x)＝ex，则F(x)＝ex；

(5)若f(x)＝ax，则F(x)＝(a>0且a≠1)； (6)若f(x)＝sin x，则F(x)＝－cos x；

(7)若f(x)＝cos x，则F(x)＝sin x.

三、合作探究

要点一　求简单函数的定积分

例1　计算下列定积分

(1)3dx；　(2)(2x＋3)dx； (3)－1(4x－x2)dx；　(4)(x－1)5dx.

解　(1)因为(3x)′＝3，所以3dx＝(3x)＝3×2－3×1＝3.

(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，