考情分析

　　通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性．

　　数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成"观察-归纳-猜想-证明"的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．

　　真题体验

　　1．(2017·浙江高考)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N＋)．

　　证明：当n∈N＋时，

　　(1)0

　　(2)2xn＋1－xn≤；

　　(3)≤xn≤.

　　证明：(1)用数学归纳法证明：xn>0.

　　当n＝1时，x1＝1>0.

　　假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，xk>0，

　　那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，

　　则00.

　　因此xn>0(n∈N＋)．

　　所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1.

　　因此0

　　(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得，

　　xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)·ln(1＋xn＋1)．

　　记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)，

　　f′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)，

　　所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

　　所以f(x)≥f(0)＝0，

因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，