教案表

课题

2．3．2离散型随机变量的方差

课型 新授课 教学

目标 知识与技能 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法 了解方差公式"D(aξ+b)=a2Dξ"，以及"若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)"，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

重点

难点 教学重点 离散型随机变量的方差、标准差

教学难点 比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

教具

准备 多媒体、实物投影仪 课时

安排 2 教学过程与教学内容 教学方法、教学手段与学法、学情 教学过程

一、复习引入

1.随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量 表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3．连续型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

5. 分布列

ξ x1 x2 ... xi ... P P1 P2 ... Pi ... 　　6. 分布列的两个性质 ⑴Pi≥0，i＝1，2，...； ⑵P1+P2+...=1．

　　7.二项分布 ξ～B(n，p)，并记＝b( ；n，p)．

ξ 0 1 ... ... n P ... ... 8.几何分布 g( ，p)= ，其中 ＝0,1,2,...， ．

ξ 1 2 3 ... ... P[ ] ... ... 　　9.数学期望 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ x1 x2 ... xn ... P p1 p2 ... pn ... 则称 ...... 为ξ的数学期望，简称期望．

　　10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

　　11 平均数、均值 在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令...，则有...，...，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

　　12. 期望的一个性质

　　13.若ξB（n,p），则Eξ=np

二、讲解新课

1. 方差 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，...，，...，且取这些值的概率分别是，，...，，...，那么,

＝＋＋...＋＋...

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．

　　2. 标准差 的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．

　　3.方差的性质 （1）；（2）；

　　（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)

　　4.其它

　　⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

　　⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

　　⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

三、讲解范例

例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.

　　解 抛掷散子所得点数X 的分布列为

ξ 1 2 3 4 5 6 P 　　从而

　　;

.

　　例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息

甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 　　

乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2000 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

　　解 根据月工资的分布列，利用计算器可算得

　　EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1

　　= 1400 ,

　　DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3

　　+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1

　　= 40 000 ;

　　EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,

　　DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l

　　= 160000 .

　　因为EX1 =EX2, DX1

例3．设随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2 ... n P ... 求Dξ

解 （略）,

　　例4．已知离散型随机变量的概率分布为

1 2 3 4 5 6 7

P 离散型随机变量的概率分布为

3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3 P 求这两个随机变量期望、均方差与标准差

　　解 ；

　　；

　　；

　　=0.04, .

点评 本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．

＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

　　例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下 射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

　　解

　　+（10-9）；

　　同理有

　　由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．

点评 本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8 比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况

　　例6．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示

A机床 B机床

次品数ξ1 0 1 2 3 次品数ξ1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率P[ 学 ] 0.8 0.06 0.04 0.10 　　问哪一台机床加工质量较好

　　解 Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

　　 Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

　　它们的期望相同，再比较它们的方差

　　　Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2

×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,

　　　Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2

×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.

∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.

四、课堂练习

1 .已知，则的值分别是（ ）

A．；　　B．；　　C．；　　D．

答案 1.D

2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

　　分析 涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．

　　解 设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3

　　当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

　　P（ξ=0）=

　　当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

　　P（ξ=1）=

　　当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

　　P（ξ=2）=

当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=

　　所以，Eξ=

　　3. 有一批数量很大的商品的次品率为1 ，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ

　　分析 涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚 抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB（200，1 ），从而可用公式 Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算

　　解 因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB（200，1 ）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1 ，q=99 ，所以，Eξ=200×1 =2,Dξ=200×1 ×99 =1.98

　　 4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4

分析 这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

　　证明 因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,

　　所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p

　　则 Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)

　　 5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下

ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 　　其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好

分析 两个随机变量ξA和ξB 都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算 证明我们猜想的正确性

解 先比较ξA与ξB的期望值，因为

　　 EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,

EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.

　　所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为

DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，

DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.[ ]

　　所以，DξA < DξB.因此，A种钢筋质量较好

　　6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？

　　分析 这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般 说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的"不考虑获利"的意思是指 所收资金全部用于奖品方面的费用

　　解 设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题

意，可得ξ的分布列为

ξ 0 5 25 100 P 　　

答 一张彩票的合理价格是0．2元．

五、小结 ⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤 ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和

　　 推导，分析