§5 从力做的功到向量的数量积

课前导引

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【问题】 向量的数量积与向量的加法、减法，实数与向量的积之间有何区别?

思路分析:两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，其结果是数量(而不是向量)；前面学习的向量的加法、减法，实数与向量的积，其结果仍然是向量，这个区别应引起重视.

知识预览

一、两平面向量的夹角

两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.

1.如右图，已知两个向量a、b，作,=a,=b，则∠AOB叫做向量a、b的夹角.

2.两个向量a、b的夹角θ∈［0,π］.当θ=0时，a、b同向；当θ=π时，a、b反向；当θ=90°时，两向量a与b垂直，并记作a⊥b.

二、平面向量数量积的含义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（linner product）（或内积），记作a·b，即规定a·b=|a||b|cosθ.

其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.

三、平面向量数量积的运算律

1.已知向量a、b、c和实数λ，则有：

(1)a·b=b·a；

(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；

(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

2.运算律的证明：

(1)a·b=|a||b|cosθ=|b||a|cosθ=b·a.

(2)(λa)·b=λ|a||b|cosθ=λ(|b||a|cosθ)=λa·b，

又λ|a||b|cosθ=aλbcosθ=a·(λb)，

∴(λa)·b=λ(a·b)

=a·(λb).

(3)如右图所示，任取一点O，作=a，=b，=c.因为a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，

∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2.

∴c·(a+b)=c·a+c·b.

∴(a+b)·c=a·c+b·c.