【考点聚焦突破】

考点一　用空间向量求异面直线所成的角

【例1】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

【答案】　(1)C　(2)A

【解析】　(1)法一　以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.

图(1)

则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).

又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，，0).

所以\s\up6(→(→)＝(1，－，1)，\s\up6(→(→)＝(1，0，1)，

则cos〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉＝\s\up6(→(AB1,\s\up6(→)

＝＝＝，

因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.

法二　将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.

图(2)

则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1＝，BC1＝AD1＝，B1D1＝.

由余弦定理得cos∠B1AD1＝.

(2)法一　取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝P