2019-2020学年人教B版必修二 直线与圆的综合应用 学案
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2019-2020学年人教A版必修二 直线与圆的综合应用 学案

典例精析

题型一 直线和圆的位置关系的应用

【例1】已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).

(1)求证:不论m为何值,直线l恒过定点;

(2)判断直线l与圆C的位置关系;

(3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.

【解析】(1)证明:直线方程可写作x+y-4+m(2x+y-7)=0,

由方程组可得

所以不论m取何值,直线l恒过定点(3,1).

(2)由=<5,

故点(3,1)在圆内,即不论m取何值,直线l总与圆C相交.

(3)由平面几何知识可知,当直线与过点M(3,1)的直径垂直时,弦|AB|最短.

|AB|=2=2=4,

此时 k=-,即-=-=2,

解得m=-,代入原直线方程,得l的方程为2x-y-5=0.

【点拨】解决弦长问题时,可利用弦长的几何意义求解.

【变式训练1】若函数f(x)=-eax的图象在x=0处的切线l与圆C:x2+y2=1相离,则P(a,b)与圆C的位置关系是(  )

A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定

【解析】选B.f(x)=-eax⇒f′(x)=-eax⇒f′(0)=-.

又f(0)=-,所以切线l的方程为y+=-(x-0),即ax+by+1=0,

由l与圆C:x2+y2=1相离得>1⇒<1,即点P(a,b)在圆内,故选B.

题型二 和圆有关的对称问题

【例2】设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x+my+4=0对称,又满足·=0.

(1)求m的值;

(2)求直线PQ的方程.

【解析】(1)曲线方程可化为(x+1)2+(y-3)2=9,是圆心为(-1,3),半径为3的圆.

因为点P,Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,

所以圆心(-1,3)在直线x+my+4=0上,代入得m=-1.

(2)因为直线PQ与直线y=x+4垂直,所以设 P(x1,y1),Q(x2,y2),

则直线PQ的方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程,得2x2+2(4-b)x+b2