3.三个正数的算术几何平均不等式
1.探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程. 2.会用平均不等式求一些式子或函数的最大(小)值.
3.会用平均不等式解决实际中的应用问题.
, [学生用书P9])
1.三个正数的算术几何平均不等式(定理3)
如果a,b,c∈R+,那么≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.
2.基本不等式的推广
对于n个正数a1,a2,...,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即≥,当且仅当a1=a2=...=an时,等号成立.
1.判断(正确的打"√",错误的打"×")
(1)任意n个数的算术平均值不小于它们的几何平均值.( )
(2)≥只对n=2和n=3的情形适用.( )
(3)算数几何平均不等式是针对n个正数而言的,否则不一定成立.( )
答案:(1)× (2)× (3)√
2.若a,b,c都是正数且a+b+c=6,则abc的最大值为( )
A.2 B.27
C.8 D.3
解析:选C.因为a>0,b>0,c>0,a+b+c=6,
所以abc≤==8,
当且仅当a=b=c=2时"="成立.
3.函数y=2x2+(x∈R+)的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案:A
用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式[学生用书P9]
已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,求证:++≥.
【证明】 因为a>b>c>d,
所以a-b>0,b-c>0,c-d>0,a-d>0,
所以(a-d)
=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]