空间向量及其运算(2)
一、课题:空间向量及其运算(2)
二、教学目标:1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;
2.掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式.
三、教学重、难点:共线、共面定理及其应用.
四、教学过程:
(一)复习:
1.空间向量的概念及表示;
(二)新课讲解:
1.共线(平行)向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作:平行于,记作:.
2.共线向量定理:
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数,使(唯一).
推论:如果为经过已知点,且平行于已知向量的直线,那么对任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,满足等式①,其中向量叫做直线的方向向量。在上取,则①式可化为或②
当时,点是线段的中点,此时③
①和②都叫空间直线的向量参数方程,③是线段的中点公式.
3.向量与平面平行:
已知平面和向量,作,如果直线平行于或在内,那么我们说向量平行于平面,记作:.
通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
说明:空间任意的两向量都是共面的.
4.共面向量定理:
如果两个向量不共线,与向量共面的充要条件是存在实数使.
推论:空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对,使或对空间任一点,有①
上面①式叫做平面的向量表达式.
(三)例题分析: