2.2.2 反证法

考点一：用反证法证明否定性命题

1.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．

(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；

(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？

[分析]　本题(1)是否定性命题，可以尝试反证法．

　　[解析]　(1)证法1：(反证法)若{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)

　　∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列．

　　证法2：只需证明SnSn＋2≠S，

　　∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，

　　∴SnSn＋2－S＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1

　　＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.

(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．

当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列．即2S2＝S1＋S3，

由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2，

∵q≠1，∴q＝0，与q≠0矛盾．

2.平面上有四个点，没有三点共线．证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．

[证明]　假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑△ABC，点D在△ABC之内或之外两种情况．

(1)如果点D在△ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360°矛盾．

(2)如果点D在△ABC之外(图2)，根据假设∠BAD、∠B、∠BCD、∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．

综上所述，原结论成立.