椭　圆 教案

　　几何法求解椭圆离心率范围问题

　　【典例】　(2018·山西大学附中月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)

　　A.　　　　 B.

　　C. D.∪

　　[思维点拨]　利用对称性分|PF1|＝|F1F2|，|PF2|＝|F1F2|两种性质讨论，结合几何特征建立相关不等式求解．

　　[解析]　6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称．不妨设P在第一象限，|PF1|>|PF2|，当|PF1|＝|F1F2|＝2c时，|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2c，即2c>2a－2c，解得e＝>.因为e<1，所以2c，且2c＋2c>2a－2c，解得

　　[答案]　D

　　[方法点评]　椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．

　　[跟踪练习]　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．

解析：由＝，得＝.又由正弦定理得＝，所以＝，即|PF1|＝|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝，|PF1|＝.因为|PF2|是△PF1F2的一边，所以有2c－<<2c＋，即c2＋2ac－a2>0，所以e2