3.1.3 两个向量的数量积
学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
知识点一 两个向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作\s\up6(→(→)=a,\s\up6(→(→)=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉.
(2)范围:〈a,b〉∈[0,π].特别地:当〈a,b〉=时,a⊥b.
知识点二 两个向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积(或内积),记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b) 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c
知识点三 两个向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质 ①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0 ②若a与b同向,则a·b=|a|·|b|;若反向,则a·b=-|a|·|b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|= ③若θ为a,b的夹角,则cosθ= ④|a·b|≤|a|·|b|
1.对于非零向量a,b,〈a,b〉与〈a,-b〉相等.( × )
2.对于任意向量a,b,c,都有(a·b)c=a(b·c).( × )
3.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c.( × )
4.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.( √ )