3.2.2　平面的法向量与平面的向量表示

学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)

2.会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点)

3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点) 1.通过本节知识的学习，培养学生的数学抽象素养.

2.借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升学生逻辑推理、数学运算素养. 　　

　　1．平面的法向量及其应用

　　(1)平面的法向量：如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．

　　(2)平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用\s\up15(→(→)·n＝0表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式．

　　(3)两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.

　　思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？

　　[提示]　平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的．

　　2．三垂线定理及其逆定理：

(1)射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．